Énigme classique
Les trois maisons et les trois puits
Une énigme de topologie où il faut relier trois maisons à trois puits sans que les chemins ne se croisent.
Définition
Cette énigme classique de logique et de topologie consiste à tracer des chemins entre trois maisons et trois puits, sans qu'aucun chemin ne croise un autre. Elle illustre la notion de graphe planaire et montre que certaines configurations sont impossibles à réaliser sur un plan.
L'énigme, pas à pas
1. L'énoncé
Trois maisons doivent être reliées chacune à trois puits différents, soit neuf chemins au total. Les chemins ne doivent jamais se croiser. Peut-on tracer ces neuf chemins sans qu'aucun ne se coupe ?
2. Indice 1
Imagine que tu places les maisons et les puits dans un certain ordre. Essaie de relier d'abord une maison à tous les puits, puis la deuxième, et vois ce qui se passe.
3. Indice 2 (plus précis, sans dévoiler)
Observe que chaque maison doit être reliée à trois puits. Si tu traces les chemins, tu obtiendras une figure qui ressemble à un graphe. Ce graphe contient un sous-graphe particulier qui rend le croisement inévitable.
La solution (ne triche pas !)
Peut-on relier trois maisons à trois puits sans croiser les chemins ?
Voir la solution
Non, c'est impossible. Voici pourquoi : place les trois maisons en haut et les trois puits en bas. Relie la première maison aux trois puits : les chemins ne se croisent pas. Relie la deuxième maison aux trois puits : les chemins passent soit à gauche, soit à droite des premiers. Mais pour la troisième maison, quel que soit l'ordre, un chemin devra traverser un autre. En fait, ce problème revient à dessiner le graphe complet biparti K3,3, qui n'est pas planaire. La démonstration utilise le théorème de Kuratowski ou la formule d'Euler : un graphe planaire avec 6 sommets et 9 arêtes aurait au moins 5 faces, mais on aboutit à une contradiction. Donc c'est impossible.
La démarche pour résoudre
- 1Représente les maisons et les puits par des points (sommets).
- 2Relie chaque maison à chaque puits par une ligne (arête).
- 3Vérifie si deux arêtes se coupent. Si oui, essaie de réorganiser les points ou de passer par l'extérieur.
- 4Utilise la notion de graphe planaire : si le graphe contient K3,3 ou K5, il n'est pas planaire.
- 5Conclus : pour 3 maisons et 3 puits, le graphe K3,3 n'est pas planaire, donc c'est impossible.
À ne pas confondre
Pièges fréquents
- ✗Croire qu'en plaçant les points en cercle on peut éviter les croisements : en réalité, le graphe K3,3 reste non planaire même en réorganisant les points.
- ✗Penser qu'on peut passer un chemin sous un autre (en 3D) : l'énigme suppose un plan, pas de passage en dessous ou au-dessus.
Contenu pédagogique — mis à jour le 7 juillet 2026.
