Énigme classique
L'allumette en premier
Jeu de Nim où deux joueurs retirent des allumettes ; celui qui prend la dernière gagne.
Définition
L'énigme de l'allumette en premier est un jeu de Nim à un seul tas. Deux joueurs retirent à tour de rôle 1, 2 ou 3 allumettes d'un tas initial. Le joueur qui prend la dernière allumette gagne. Le but est de trouver la stratégie gagnante pour le premier joueur.
L'énigme, pas à pas
1. L'énoncé
Il y a 21 allumettes sur une table. Deux joueurs jouent à tour de rôle. Chacun peut prendre 1, 2 ou 3 allumettes. Celui qui prend la dernière allumette gagne. Le premier joueur peut-il être sûr de gagner ? Si oui, comment ?
2. Indice 1
Pense à des nombres clés. Si tu laisses un certain nombre d'allumettes à l'adversaire, tu peux contrôler la fin du jeu.
3. Indice 2
Cherche un multiple de 4. Si tu arrives à laisser 4, 8, 12, 16 ou 20 allumettes à l'adversaire, tu gagnes.
La solution (ne triche pas !)
21 allumettes, on peut prendre 1, 2 ou 3, celui qui prend la dernière gagne. Le premier joueur peut-il gagner ?
Voir la solution
Oui, le premier joueur peut gagner. Il doit prendre 1 allumette au premier tour, laissant 20 allumettes. Ensuite, à chaque tour, il doit compléter la prise de l'adversaire pour arriver à 4. Par exemple, si l'adversaire prend 1, il prend 3 ; si l'adversaire prend 2, il prend 2 ; si l'adversaire prend 3, il prend 1. Ainsi, après chaque paire de tours, le total retiré est 4. Le premier joueur laisse toujours un multiple de 4 allumettes à l'adversaire. Finalement, il reste 4 allumettes, l'adversaire en prend 1, 2 ou 3, et le premier joueur prend le reste et gagne.
La démarche pour résoudre
- 1Détermine le nombre total d'allumettes et le maximum que l'on peut prendre par tour.
- 2Calcule le nombre de tours possibles : divise le total par (max + 1) et regarde le reste.
- 3Si le reste est 0, le premier joueur perd si l'adversaire joue parfaitement ; sinon, le premier joueur gagne en prenant ce reste au premier tour.
- 4Ensuite, à chaque tour, prends (max + 1) moins le nombre pris par l'adversaire.
À ne pas confondre
Pièges fréquents
- ✗Croire que le premier joueur gagne toujours : c'est faux, cela dépend du nombre initial et des règles.
- ✗Oublier de considérer le nombre maximum d'allumettes que l'on peut prendre : la stratégie repose sur (max+1).
- ✗Penser qu'il faut prendre le plus possible au premier tour : au contraire, il faut prendre le reste de la division par (max+1).
Voir aussi
Contenu pédagogique — mis à jour le 7 juillet 2026.
