Énigme classique
Les poignées de main
Dans un groupe, chaque personne serre la main de toutes les autres une fois. Combien de poignées de main ont lieu ?
Définition
Cette énigme classique de combinatoire consiste à calculer le nombre total de poignées de main échangées dans un groupe où chaque personne serre la main de toutes les autres exactement une fois. Elle illustre le principe des combinaisons et le comptage sans double compte.
L'énigme, pas à pas
1. L'énoncé
Lors d'une réunion, 10 personnes se rencontrent. Chaque personne serre la main de toutes les autres exactement une fois. Combien de poignées de main ont lieu en tout ?
2. Indice 1
Pense au nombre de poignées de main qu'une seule personne donne. Attention à ne pas compter deux fois la même poignée.
3. Indice 2
Si chaque personne serre la main des 9 autres, cela ferait 10 × 9 = 90 poignées. Mais chaque poignée est comptée deux fois. Que faut-il faire ?
La solution (ne triche pas !)
10 personnes, chaque personne serre la main de toutes les autres une fois. Combien de poignées de main ?
Voir la solution
Chaque personne serre la main des 9 autres. Cela donne 10 × 9 = 90 poignées si on compte chaque main serrée. Mais chaque poignée implique deux personnes, donc elle est comptée deux fois. Il faut diviser par 2 : 90 ÷ 2 = 45 poignées de main. Formule générale : n personnes donnent n(n-1)/2 poignées.
La démarche pour résoudre
- 1Étape 1 : Déterminer le nombre de personnes (n).
- 2Étape 2 : Calculer le nombre de poignées par personne : n - 1.
- 3Étape 3 : Multiplier par n : n × (n - 1).
- 4Étape 4 : Diviser par 2 pour éviter le double comptage : n(n-1)/2.
À ne pas confondre
Pièges fréquents
- ✗Oublier de diviser par 2 : on calcule 10 × 9 = 90 et on s'arrête là, mais chaque poignée est comptée deux fois.
- ✗Compter 10 × 10 = 100 : on inclut la poignée avec soi-même, ce qui n'existe pas.
Voir aussi
Contenu pédagogique — mis à jour le 7 juillet 2026.
